Wiskunde1

Tja, hebben ze jullie daar vroeger al mee lastig gevallen, begin ik ook nog eens daarmee. Maar, geloof me, wiskunde is erg interessant als je naar het wezenlijke ervan kijkt. Wij gaan het ook meer filosofisch bekijken.

Eerst een paar dingen waar niemand bij stilstaat.

Weet je wat wortel 2 betekent? Dat is het getal, zodanig dat als je het in het kwadraat neemt, je precies 2 uitkrijgt. Ok, en wat dan nog? Nou, het probleem is, dat zelfs met de krachtigste computers er geen eind schijnt te komen aan het aantal cijfers achter de komma: dat getal is dus niet precies te bepalen, alhoewel het toch wel moet bestaan, anders kun je niet precies 2 uitkrijgen als je het kwadrateert. Het getal ligt dus wel in onze realiteit, maar is niet precies te bepalen. Hetzelfde geldt voor wortel 3, wortel 5 enz.
Dat geld trouwens ook voor elementaire deeltjes: je kunt niet alle eigenschappen van dat deeltje precies bepalen: of je weet de spinrichting en de snelheid, maar niet de plaats en als je de plaats op een bepaald moment weet, kun je de snelheid niet bepalen (zoek dat zelf maar op als je het niet gelooft).

Nou maken we het nog erger: wat is wortel -1? Dat kan niet, hebben ze op de middelbare school gezegd. Ja, maar als ik iets wat niet bestaat kwadrateer en het bestaat dan wel, wat dan? Als ik namelijk wortel -1 in het kwadraat zet, krijg ik -1 en dat bestaat: kijk maar naar uw bankrekening (en die van mij ook overigens). Bovendien houden wiskundigen zich terdege bezig met deze irreele getallen: zgn. complexe getallen bestaan uit een reeel deel en een imaginair deel. Wortel -1 wordt daar i genoemd. Zo'n complex getal ziet er dan als volgt uit: 35 + 3i, of abstracter: a + bi. Ze behandelen die complexe getallen alsof ze een onbekende dimensie vormen, toch niet zo gek bedacht, he? Heb je al eens gehoord van fractals, mooie plaatjes op grond van wiskundige formules? Meestal wordt hierbij dat getal i gebruikt. Het gekke van fractal-afbeeldingen is, dat ze oneindig schijnen te zijn: als je het plaatje steeds verder vergroot, krijg je een afbeelding, waar telkens weer dezelfde elementen in terugkomen. Hoe ver je kunt gaan met steeds kleinere getallen, is alleen afhankelijk van je geduld en de rekencapaciteit van je computer. Hier wat meer erover, maar je kunt zoveel vinden daarover als je wil:

http://home.wxs.nl/~Philip.van.Egmond/fractals/fract1-n.htm

http://dutiosd.twi.tudelft.nl/~valery/fractal_gallery/gallery.html

Trouwens: ken jij een getal dat zo groot is, dat het niet groter meer kan? Of een getal dat zo klein is, dat het niet kleiner meer kan? Nee dus. Een vleugje oneindigheid?

Ook getallen als pi, phi enz. maken wel deel uit van onze realiteit, maar zijn niet precies bepaalbaar. Als voorbeeld hiervan het getal phi: de gulden snede. Wat is dat nou weer?
Als je een lijn in tweeen deelt, zo, dat het kleinste stuk zich verhoudt tot het grootste als dit grootste tot de hele lijn, krijg je een verhoudingsgetal, dat phi genoemd wordt en ongeveer 0.61803 (afgerond, komt ook geen eind aan) groot is als je het keleinere stuk door het grotere deelt of 1.61804444... als je het andersom doet. Wil je wat meer weten, kijk dan hier:

http://www.pandd.demon.nl/sectioaurea.htm

http://members.chello.nl/~jlmbar/Uitleg/spiralen.htm

Je komt ook vaker de naam Fibonacci tegen. Wat is dat? Nou, het blijkt dat als je een rechthoek maakt, waarvan de zijden zich verhouden volgens de gulden snede, dit voor mensen de meest aangename vorm is. Alle oude bouwwerken zijn doordrenkt van dit verhoudingsgetal. Je komt het ook vaak in de natuur tegen: de manier waarop b.v. een zonnebloem haar pitten geordend heeft, de schelp van allerlei soorten slakken en nog veel meer. Nou wil het geval, dat dat nooit precies het getal phi is, want dan zou bijv. een slakkenhuis eeuwig doorlopen en dat kan niet in onze realiteit (als je zo'n slakkenhuis bekijkt, is de vorm perfect, alleen op het topje is zo'n bobbel die een eind maakt aan de mooie spiraal. Het blijkt dan ook dat al die vormen in de natuur die volgens de gulden snede opgebouwd zijn, niet precies die gulden snede volgen, want dat kan niet: een spiraal volgens de gulden snede zou in beide richtingen (groot en klein) oneindig doorlopen. Hier komen de getallen van Fibonacci naar voren. Dit gaat als volgt:
1 1 2 3 5 8 13...enz. Het volgende getal ontstaat telkens door de twee voorgaande op te tellen. Nou blijkt, dat als deze getallen steeds groter worden, de verhouding steeds dichter bij phi komt, maar nooit helemaal precies die waarde aanneemt. Het schijnt zo, dat de getallenreeks van Fibonacci in onze realiteit een soort "vertaling" is van de echte gulden snede, die in onze werkelijkheid alleen maar benaderd kan worden, maar nooit echt bereikt (behalve in sommige fractal-afbeeldingen).

Allemaal onzin van zweefologen? Nou, in de foreign exchange (speculeren op de beurs) spelen die getallen van Fibonacci een belangrijke rol als indicators in welke richting de beurs het meest waarschijnlijk gaat. Architecten behandelen het getal phi al sinds de oudheid met groot respect: er moet toch iets mee zijn. Wiskundigen zijn er ook helemaal kapot van.

Ga maar eens zelf op zoek in de search-machines en je vindt hopen informatie hierover.

Als volgende gaan wij het hebben over chaos (ook wiskunde).